Cấu trúc bài giảng bao gồm:

1) Chứng minh tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

Cách 1: Chứng minh góc xOy + góc yOz = góc xOz

Cách 2: Xét trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox ta có: góc xOy < góc xOz thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

2) Chứng minh tia Oy là phân giác của góc xOz

Cách 1: Ta chứng minh: góc xOy = góc yOz = góc xOz / 2

Cách 2: Ta chứng minh:

• Tia Oy nằm giữa hai tia Oz và Ox
• Góc xOy = yOz

3) Bài tập vận dụng

Câu 1: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ góc xOy = 30^o và góc xOz = 60^o

a. Trong 3 tia Ox, Ox, Oz thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

b. Tính số đo góc yOz ?

c. Tia Oy có là phân giác của góc xOz không? Vì sao?

4) Phiếu bài tập

Câu 2: Cho 2 tia Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox sao cho góc xOy = 60^o và góc xOz = 120^o.

a. Vì sao tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz ?

b. Tính số đo góc yOz ?

c. Tia Oy có là phân giác của góc xOz không? Vì sao?

Trong video bài giảng, cô Phương đã hướng dẫn rất kĩ phần lý thuyết và làm bài tập chứng minh tia nằm giữa hai tia cũng như tia phân giác của một góc rất chi tiết. Cô hi vọng các em có buổi học thật vui vẻ và bổ ích, chúc các em học tốt phần Hình học lớp 6 và đạt kết quả cao trong năm học này. Hẹn gặp lại các em trong các Video bài giảng tiếp theo. Thân ái, chào tạm biệt các em !

Quy trình đăng ký và học thử

Khi vừa tiếp nhận thông tin đăng ký của phụ huynh/ học sinh, chúng tôi sẽ liên hệ tư vấn để bố trí một buổi Test miễn phí trình độ các em. Bài Test đầu vào là căn cứ giúp trung tâm phân loại trình độ học sinh và sắp xếp lớp nhóm tương đương với khả năng tiếp thu của các em. Sau đó, học sinh sẽ được bố trí học thử 2 buổi hoàn toàn miễn phí.

Sau khi kết thức 2 buổi đầu đó, nếu các em tương tác và tiếp thu hiệu quả, cảm nhận thấy phù hợp với môi trường, bạn bè và kiến thức giáo viên dạy thì mới đăng kí chính thức tham gia khóa học. Còn nếu cảm thấy mình không theo kịp các bạn trong lớp hoặc muốn chuyển sang lớp có trình độ cao hơn, học sinh sẽ báo lại trung tâm để được phân sang một lớp nhóm khác. Ngoài ra chúng tôi còn áp dụng chính sách miễn phí học 1 tháng đầu cho tất cả các môn mà học sinh đăng kí.

Quý phụ huynh đăng kí cho con học Toán cô Phương vui lòng liên hệ:

Điện thoại: 024.6263.8868 ( 8h – 18h )

Hotline: 096.446.0088 – 090.462.8800

Cơ sở 1: Số nhà 46 Trúc Khê, quận Ba Đình, Tp. Hà Nội

Cơ sở 2: Số 110/8 Quan Nhân, quận Thanh Xuân Hà Nội

Cơ sở 3: Số 2A ngõ 39/29 phố Khương Hạ, Thanh Xuân, Hà Nội

Fanpage: https://www.facebook.com/giasuviet.com.vn

Đăng kí học: https://giasuviet.com.vn/dang-ki-thong-tin-hoc-nhom

Bài viết Bài giảng: Chứng minh tia phân giác của một góc – Cô Phương đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

Cấu trúc bài giảng bao gồm:

I. Lý thuyết

1. Đường trung bình của Tam giác

♦ Định nghĩa: Đường trung bình của Tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của Tam giác đó.

♦ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của Tam giác và song song với cạnh còn lại thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

♦ Định lý 2: Đường trung bình của Tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bẳng một nửa cạnh ấy.

2. Đường trung bình của Hình thang

♦ Định nghĩa: Đường trung bình của Hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

♦ Định lý 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một canh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại

♦ Định lý 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bẳng nửa tổng hai đáy.

II. Các dạng bài tập

Ví dụ 1: Cho Δ ABC cân tại A, có điểm M là trung điểm của cạnh BC. Kẻ tia Mx song song với AC và cắt AB tại Evà tia My song song với AB và cắt AC tại F. Chứng minh

a) EF là đường trung bình của Δ ABC

b) AM là đường trung trực của EF

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh

a) Δ AFD cân tại F

b) Góc BAF = Góc CDF

Trong Video bài giảng của cô Minh Huyền sẽ có hướng dẫn phần lý thuyết và giải các ví dụ rất chi tiết. Cô Huyền hi vọng các em học sinh lớp 8 tiếp thu bài học này thật hiệu quả. Thân ái, chào tạm biệt các em!

Quy trình đăng ký và học thử

Khi vừa tiếp nhận thông tin đăng ký của phụ huynh/ học sinh, chúng tôi sẽ liên hệ tư vấn để bố trí một buổi Test miễn phí trình độ các em. Bài Test đầu vào là căn cứ giúp trung tâm phân loại trình độ học sinh và sắp xếp lớp nhóm tương đương với khả năng tiếp thu của các em. Sau đó, học sinh sẽ được bố trí học thử 2 buổi hoàn toàn miễn phí.

Sau khi kết thức 2 buổi đầu đó, nếu các em tương tác và tiếp thu hiệu quả, cảm nhận thấy phù hợp với môi trường, bạn bè và kiến thức giáo viên dạy thì mới đăng kí chính thức tham gia khóa học. Còn nếu cảm thấy mình không theo kịp các bạn trong lớp hoặc muốn chuyển sang lớp có trình độ cao hơn, học sinh sẽ báo lại trung tâm để được phân sang một lớp nhóm khác. Ngoài ra chúng tôi còn áp dụng chính sách miễn phí học 1 tháng đầu cho tất cả các môn học sinh đăng kí.

Quý phụ huynh/ học sinh đăng kí học Toán cô Minh Huyền vui lòng liên hệ:

Điện thoại: 024.6263.8868 ( 8h – 18h )

Hotline: 096.446.0088 – 090.462.8800

Cơ sở 1: Số nhà 46 Trúc Khê, quận Ba Đình, Tp. Hà Nội

Cơ sở 2: Số 110/8 Quan Nhân, quận Thanh Xuân Hà Nội

Cơ sở 3: Số 2A ngõ 39/29 phố Khương Hạ, Thanh Xuân, Hà Nội

Fanpage: https://www.facebook.com/giasuviet.com.vn

Đăng kí học: https://giasuviet.com.vn/dang-ki-thong-tin-hoc-nhom

Bài viết Đường trung bình của Tam giác và Hình thang – Cô Minh Huyền đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

Cấu trúc bài giảng bao gồm:

♦ ) Dạng cơ bản:  a.sin(x) + b.cos(x) = c 

Biến đổi thành dạng: Sin( x + α ) = Sin( Ψ )

Họ nghiệm bao gồm:

x = Ψ – α + k2Π

x = Π – Ψ – α + k2Π

♦ ) Các ví dụ 

Giải các phương trình

1)  √3.sin(x) + cos(x) = 2

2) sin(x) – cos(x) = √2

3)  ( 2.sinx – cosx ).( 1 + cosx ) = Sin²x

Trong video bài giảng sẽ có đầy đủ cả phần lý thuyết và hướng dẫn giải các ví dụ rất chi tiết. Thầy Quân hi vọng các em tiếp thu bài học hiệu quả. Thân ái, chào tạm biệt các em !

Quy trình đăng ký và học thử

Khi vừa tiếp nhận thông tin đăng ký của phụ huynh/ học sinh, chúng tôi sẽ liên hệ tư vấn để bố trí một buổi Test miễn phí trình độ các em. Bài Test đầu vào là căn cứ giúp trung tâm phân loại trình độ học sinh và sắp xếp lớp nhóm tương đương với khả năng tiếp thu của các em. Sau đó, học sinh sẽ được bố trí học thử 2 buổi tại trung tâm hoàn toàn miễn phí.

Sau khi kết thức 2 buổi đầu đó, nếu các em tương tác và tiếp thu hiệu quả, cảm nhận thấy phù hợp với môi trường, bạn bè và kiến thức giáo viên dạy thì mới đăng kí chính thức tham gia khóa học. Còn nếu cảm thấy mình không theo kịp các bạn trong lớp hoặc muốn chuyển sang lớp có trình độ cao hơn, học sinh sẽ báo lại trung tâm để được phân sang một lớp nhóm khác. Ngoài ra chúng tôi thêm chính sách miễn phí học 1 tháng đầu áp dụng cho tất cả các môn học sinh đăng kí.

Quý phụ huynh/ học sinh đăng kí học Toán thầy Quân vui lòng liên hệ:

Điện thoại: 024.6263.8868 ( 8h – 18h )

Hotline: 096.446.0088 – 090.462.8800

Cơ sở 1: Số nhà 46 Trúc Khê, quận Ba Đình, Tp. Hà Nội

Cơ sở 2: Số 110/8 Quan Nhân, quận Thanh Xuân Hà Nội

Cơ sở 3: Số 2A ngõ 39/29 phố Khương Hạ, Thanh Xuân, Hà Nội

Fanpage: https://www.facebook.com/giasuviet.com.vn

Đăng kí học: https://giasuviet.com.vn/dang-ki-thong-tin-hoc-nhom

Bài viết Bài giảng: Phương trình bậc nhất theo Sin và Cos – Thầy Quân đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

Cấu trúc bài giảng bao gồm:

I – Các khái niệm cơ bản

1. Định nghĩa

Tỉ lệ thức là đẳng thức của 2 tỉ số: a / b = c / d

2. Tính chất 

– Nếu a / b = c / d thì: a.d = b.c

– Nếu a.d = b.c mà a, b, c, d ≠ 0 thì: a / b = c / d; a / c = b / d; c / a = d / b; d / c = b / a

3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Từ dãy tỉ số  a / b = c / d, ta suy ra: a / b = c / d = ( a + c ) / ( b + d ) = ( a – c ) / ( b – d ); với b ≠ d và b ≠ -d

II – Các sai lầm thường gặp cách khắc phục

Sai lầm 1: Bỏ qua điều kiện tồn tại của biểu thức 

Ví dụ 1: Cho 3 tỉ số bằng nhau: a / ( b + c ) = b / ( c + a ) = c / ( a + b ). Tính giá trị của mỗi tỉ số đó

Sai lầm 2: Áp dụng tương đồng

Ví dụ 2: Tìm 2 số x, y biết rằng: x / 2  = y / 5 và x.y = 10

Sai lầm 3: Không quan tâm đến số 0 ở tử

Ví dụ 3: Tìm x biết rằng: ( 2x + 1 ) / 5 = ( 3y – 2 ) / 7 = ( 2x + 3y – 1 ) / 6x

Sai lầm 4: Xét luỹ thừa bậc chẵn

Ví dụ 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: x / 2 = y / 3 = z / 4 và 2x² + 3y² – 5z² = – 405

Trong video bài giảng sẽ có đầy đủ cả phần lý thuyết và hướng dẫn làm bài tập cùng các ví dụ rất chi tiết. Cô Phương hi vọng các em có buổi học thật vui vẻ và bổ ích, chúc các em đạt kết quả cao trong năm học lớp 7 rất quan trọng này. Thân ái, chào tạm biệt các em !

Quý phụ huynh/ học sinh đăng kí học Toán cô Phương vui lòng liên hệ:

Điện thoại: 024.6263.8868 ( 8h – 18h )

Hotline: 096.446.0088 – 090.462.8800

Cơ sở 1: Số nhà 46 Trúc Khê, quận Ba Đình, Tp. Hà Nội

Cơ sở 2: Số 110/8 Quan Nhân, quận Thanh Xuân Hà Nội

Cơ sở 3: Số 2A ngõ 39/29 phố Khương Hạ, Thanh Xuân, Hà Nội

Fanpage trung tâm: https://www.facebook.com/giasuviet.com.vn

Đăng kí học: https://giasuviet.com.vn/dang-ki-thong-tin-hoc-nhom

Bài viết Một số sai lầm thường gặp khi làm Toán về tỉ lệ thức – Cô Phương đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Hình thang

1. Khái niệm về hình thang

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Từ hình vẽ, ta thấy: Hình thang cân ABCD có AB // CD

2. Tính chất hình thang

– Tính chất 1: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là 2 cạnh đáy).

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD)

=> Góc A + Góc D = Góc B + Góc C = 180°

– Tính chất 2: Hình thang có 2 cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = CD

Xét tứ giác ABCD có: AB // CD và AB = CD

=> ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

Ngược lại, nếu hình thang có 2 cạnh bên song song thì chúng sẽ bằng nhau và 2 cạnh đáy bằng nhau.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD), lại có AD // BC

Xét tứ giác ABCD có: AB // CD và AD // BC

=> ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC

– Tính chất 3: Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm AD, F là trung điểm BC

=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Tính chất 3.1: Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với 2 cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm AD, EF //AB (EF // CD) (F ∈ BC)

=> F là trung điểm BC

Tính chất 3.2: Đường trung bình của hình thang sẽ song song với 2 cạnh đáy và bằng 1/2 tổng 2 đáy.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có EF là đường trung bình

=> EF// AB; EF // CD và EF = (AB+CD)/2

3. Cách chứng minh hình thang

– Cách 1: Chứng minh tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Ta có:

M là trung điểm của AE

N là trung điểm của BE

=> MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của ΔEAB, suy ra MN // AB (1)

Gọi R là trung điểm của AD

Trong ΔADB, RQ là đường trung bình, suy ra RQ // AB

Trong ΔCAD, RP là đường trung bình, suy ra RP // DC

mà DC // AB nên RP // AB.

RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB nên theo tiên đề Ơclit thì RQ ≡ RP

Từ đây ta suy ra QP // AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang do một cặp cạnh đối song song.

– Cách 2: Chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180 độ.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.

Ta có:

AB’ = AB

=> ∆BAB’ cân tại A

=> Góc ABB’ = (180°- Â)/2

Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2

=> Góc ABB = Góc AC’C

=> Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’

=> Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180°

=> Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180°

II. Hình thang cân

1. Khái niệm về hình thang cân

Trong hình học Euclid, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau. Hình thang cân là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang.

Từ khai niệm và theo hình vẽ, ta có:

Hình thang cân ABCD (AB // CD) => Góc C = Góc D

2. Tính chất hình thang cân

– Tính chất 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Ví dụ: ABCD là hình thang cân (AB // CD)

=> AD = BC

– Tính chất 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ: Cho ABCD là hình thang cân (AB // CD)

=> AC = BD

– Tính chất 3: Hình thang cân luôn nội tiếp được trong một đường tròn.

Ví dụ: ABCD là hình thang cân (AB // CD)

=> Luôn có một đường tròn tâm O nội tiếp hình thang này

3. Cách chứng minh hình thang cân

– Cách 1: Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.

a) Ta có: AD = AE (gt) nên ∆ADE cân

⇒ Góc D₂ = Góc E₂

Mà góc A + D₂ + E₂ = góc A + B + C = 180°, trong khi góc B = C do ΔABC cân tại A (gt). Vì vậy D₂ = B ( vị trí đồng vị )

=> DE // BC, do đó BDEC là hình thang.

Lại có ΔABC cân tại A ⇒ Góc B = Góc C

Nên BDEC là hình thang cân là là hình thang có 2 góc đáy bằng nhau.

– Cách 2: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Ta có: ABCD là hình thang

=> Góc A₁ = Góc C₁

=> sđ cung CD = sđ cung AB

=> AB = CD

=> ABCD là hình thang cân do là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau.

– Cách 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

∆ECD có góc ACD = góc BDC nên là tam giác cân.

Suy ra EC = ED (1)

Tương tự xét ∆EAB có: Góc ABE = BAE do cùng đều bằng góc ACD và góc BDC ( So le trong )

⇒ ∆EAB tại E suy ra: EA = EB (2)

Từ (1) và (2) ta có: EA + EC = EB + ED => AC = BD

=> ABCD là hình thang cân do là hình thang có 2 đường chéo bằng nhau

Kết luận: Sau khi các em học sinh đã được tìm hiểu các kiến thức cơ bản về hình thang và hình thang cân. Chúng tôi tin rằng, nội dung này sẽ không làm khó các bạn nữa và giúp đạt được điểm số tối đa trong mỗi bài thi. Hãy theo dõi Gia Sư Việt để học luôn cập nhập nhiều bài học khác nhé. Ngoài ra, nếu phụ huynh cần thuê gia sư dạy Toán tại nhà cho con, vui lòng liên hệ qua số 096.446.0088 – 090.462.8800 để được tư vấn chi tiết.

Tham khảo thêm:

♦ Tổng hợp kiến thức về các đường Đồng quy trong Tam giác

♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là Hình thoi

Bài viết Tổng hợp kiến thức cơ bản về hình thang và hình thang cân đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình), kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn điều kiện hay không.

Bước 3: Kết luận

II. Một số dạng toán về lập phương trình điển hình và cách giải cụ thể

Dạng 1: Chuyển động

(Trên đường bộ, trên dòng sông có tính đến dòng nước chảy)

Ví dụ 1: Một người đi ô tô từ A đến B để giải quyết công việc lúc 8h. Đoạn đường AB dài 80km gồm một đoạn đường bằng và một đoạn dốc. Vận tốc người đó đi trên đường bằng là 80 km/h, khi lên dốc (lúc đi) là 48 km/h, khi xuống dốc (lúc về) là 90 km/h. Tính độ dài đoạn đường bằng, biết rằng tới B, người đó giải quyết công việc trong 1h30 phút rồi quay về luôn và về tới A lúc 12h.

Lời giải:

Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (0 < x < 90) (km)

Tổng thời gian người đó đi là: 12 – 8 – 1,5 = 2,5 (h)

Thời gian người đó đi trên quãng đường bằng là: 2x/80 (h)

Thời gian người đó lên dốc là: (90-x)/48 (h)

Thời gian người đó xuống dốc là: (90-x)/90 (h)

Theo bài ra, ta có:

2x/80 + (90-x)/48 + (90-x)/90 = 2.5

⇒ (18x + 15(90-x) +8(90-x) )/720 = 2.5

⇒ 18x – 15x – 8x = 1800 – 720 – 1350

⇒ -5x = -270

⇒ x = 54 (thỏa mãn)

Kết luận: Quãng đường bằng dài 54 km.

Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng theo A đến B rồi quay trở lại. Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4,5 giờ. Tính vận tốc của dòng nước, biết thời gian đi 5 km lúc đi bằng thời gian đi 4 km lúc về.

Lời giải:

Gọi vận tốc của thuyền khi nước lặng là x và vận tốc của dòng nước là y

Thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km => 5/(x+ y) = 4/(x -y)

Lại có tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4h 30 phút

=> 40/(x+ y) + 40/(x -y) = 4,5

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

5/(x+ y) = 4/(x -y) (I) và 40/(x+ y) + 40/(x -y) = 4,5 (II)

Từ (I) suy ra: y = x – 16

Thay y = x – 16 vào (2), ta được:

x = 18 => y = 2 (thỏa mãn)

Kết luận: Vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng

( Toán vòi nước, công việc )

Ví dụ 3: Cho 2 vòi nước khác nhau A và B cũng chảy vào bể. Vòi A cần ít hơn 2 giờ so với vòi B để một mình chảy đầy bể. Tính thời gian cần thiết để mỗi vòi chảy một mình đầy bể, biết tích thời gian 2 vòi chảy một mình gấp 4 lần thời gian 2 vòi cùng chảy.

Lời giải:

Gọi thời gian để vòi A chảy một mình đầy bể là x (x > 0) (giờ)

⇒ Thời gian để vòi B một mình chảy đầy bể là x + 2 (giờ)

Trong một giờ vòi A chảy được: 1/x (bể)

Trong một giờ vòi A chảy được: 1/(x+2) (bể)

Trong một giờ cả hai vòi chảy được: 1/x + 1/(x+2) = (2x+2)/(x (x+2) ) (bể)

Suy ra, thời gian để hai vòi chảy đầy bể là:

1 : ( (2x+2)/(x.(x+2) ) = (x (x+2))/(2 (x+1))

Theo bài ra, ta có phương trình:

x.(x + 2) = 4.(x.(x+2))/(2.(x+1))

⇒ 2x.(x +1).(x + 2) = 4x.(x + 2)

⇒ x + 1 = 2 (chia cả 2 vế cho 2x (x + 2) # 0)

⇒ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy vòi A cần 1 giờ để chảy đầy bể, vòi B cần 3 giờ để chảy đầy bể.

Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì hết 12h. Tính số giờ mỗi tổ làm một mình xong công việc, biết nếu mỗi tổ lần lượt làm một nửa công việc thì hết 25h.

Lời giải:

Gọi số giờ tổ 1 một mình làm xong công việc là x

số giờ tổ 2 một mình làm xong công việc là y

Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được 1/x + 1/y = 1/12 (công việc)

Khi mỗi người làm một nửa công việc, ta có: x/2 + y/2 = 25

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

1/x + 1/y = 1/12 (I) và x/2 + y/2 = 25 (II)

Từ (II) ⇒ x = 50-y

Thay x = 50 – y vào (I), ta được:

1/(50-y) + 1/y = 1/12 ⇒ y = 20 hoặc y = 30 ⇒ x = 30 hoặc x = 20

Kết luận: Tổ 1 làm một mình hết 20 giờ, tổ 2 làm một mình hết 30 giờ (hoặc ngược lại)

Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm

Ví dụ 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người chủ của mảnh vườn cắt mỗi cạnh đi 5m để trồng hoa, nên diện tích của mảnh vườn đã giảm 16%. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

Lời giải:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (x > 5) (m)

Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 2/3 x (m)

Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5m là x – 5 (m)

Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm 5m là 2/3 x – 5 (m)

Diện tích của mảnh vườn sau khi cắt bớt là:

(x – 5) (2/3 x – 5) = 2/3 x² – 5x – 10/3 x + 25 = (2x²-25x+75)/3

Phần diện tích giảm đi 16% là:

(2x²)/3 – 16% (2x²)/3 = (2x²)/3 – (8x²)/75 = (50x² – 8x²)/75 = (14x²)/25

Theo bài ra, ta có phương trình:

(2x²-25x+75)/3 = (14x²)/25

⇒ 50x² – 625x +1875 = 42x²

⇒ 8x² – 625x +1875 = 0

⇒ x = 75 hoặc x = 25/8 (loại vì 25/8<5 )

Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 50m

Kết luận: Diện tích của mảnh vườn ban đầu là: 75 x 50 = 3750 (m²)

Ví dụ 6: Trong tháng năm hai nhóm công nhân đã trồng được 720 cây bạch đàn. Tháng tiếp theo do năng suất tăng nên hai nhóm trồng được thêm 99 cây bạch đàn so với tháng năm. Tính số cây mỗi nhóm đã trồng được trong tháng năm, biết tháng sáu nhóm một năng suất tăng 15%, nhóm hai tăng 12%.

Lời giải:

Gọi số cây nhóm một trồng được trong tháng năm là x

số cây nhóm hai trồng được trong tháng năm là y

Suy ra số cây nhóm một trồng được trong tháng sáu là 15% x = 115x/100 (cây)

số cây nhóm hai trồng được trong tháng sáu là 12% y = 112y/100 (cây)

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 720 và 115x/100+ 112y/100 = 720 + 99

Giải hệ ta được: x = 420 và y = 300

Kết luận: Nhóm một đã trồng được 420 cây trong tháng năm, nhóm hai đã trồng được 300 cây trong tháng năm.

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

Ví dụ 7: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.

Lời giải:

Gọi chiều dài của tấm bìa đó là x (x >17) (cm)

Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình:

x² + (x – 17)² = 53²

⇒ x²+ x² – 34x + 289 – 2809 = 0

⇒ 2x² – 34 x – 2520 = 0

⇒ x = 45 hoặc x = -28 (loại)

Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 (cm), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 (cm)

Ví dụ 8: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.

Lời giải:

Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y

Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1/5 x = 4/5 x (m)

Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1+ 1/4 x = 5/4 y (m)

Nưa chu vi thửa ruộng đó là: 450 : 2 = 225 (m)

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 225 và 4/5 x+ 5/4 y = 225

Giải ra ta được: x=125 và y = 100 (thỏa mãn)

Diện tích ban đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 (m²)

Dạng 5: Toán về tìm số

Ví dụ 9: Bà Dương hơn Dương 56 tuổi. Tính số tuổi của hai bà cháu biết rằng cách đây 5 năm, số tuổi của bà gấp 8 lần tuổi của Dương.

Lời giải:

Gọi số tuổi hiện tại của Dương là x (x > 0) (tuổi)

Suy ra số tuổi của bà Dương hiện tại là x + 56 (tuổi)

Số tuổi của Dương cách đây 5 năm là x – 5 (tuổi)

Số tuổi của bà Dương cách đây 5 năm là x + 56 – 5 = x + 51 (tuổi)

Theo bài ra, ta có phương trình:

8 (x – 5) = x + 51

⇒ 8x – 40 = x + 51

⇒ 8x – x = 40 + 51

⇒ 7x = 91

⇒ x = 13

Vậy số tuổi của Dương là 13, số tuổi của bà là 69.

Ví dụ 10: Tuổi thọ trung bình của 45 vị vua và hoàng hậu ngày xưa là 40. Tuổi trung bình của vua là 35, tuổi trung bình của hoàng hậu là 50. Hỏi có bao nhiêu vị vua, bao nhiêu hoàng hậu được nhắc tới?

Lời giải:

Gọi số vị vua là x, số hoàng hậu là y (0 < x, y < 45)

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 45 và (35x + 45y)/45 = 40

Giải ra ta được:  x = 15 và y = 30 (thỏa mãn)

Vậy có 15 vị vua, 30 hoàng hậu.

Lời kết: Chúng ta có thể thấy những bài toán trên nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, nhưng khi ta lập được phương trình và hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn. Vì vậy, Gia Sư Việt mong rằng các em nắm chắc từng bước giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình để áp dụng làm bài thi hiệu quả nhất.

Tham khảo thêm:

♦ Phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9

♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

Bài viết Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Khái niệm về Hình thoi

Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Từ khái niệm, ta thấy: ABCD là hình thoi => AB = BC = CD = DA

II. Tính chất của Hình thoi

Hình thoi cũng là một hình bình hành, nên nó có tất cả các tính chất của hình bình hành.

– Tính chất 1: Trong hình thoi, các góc đối nhau bằng nhau.

Dựa vào khái niệm về hình thoi, ta có:

∆ABC = ∆ADC (c .c. c) => Góc B =  Góc D

∆ABD = ∆CBD (c .c .c) => Góc A =  Góc C

– Tính chất 2: Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Xét ∆AOB và ∆COB có:

Chung cạnh OB
OA = OC (O là trung điểm AC, do ABCD cũng là một hình bình hành)
BA = BC (Hinh thoi có 4 cạnh bằng nhau)

Suy ra ∆AOB = ∆COB (c. c. c)

=> Góc ABO = Góc CBO => BO hay BD là đường phân giác của Góc ABC và Góc ADC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: AC là đường phân giác của Góc BAD và Góc BCD

– Tính chất 3: Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét ∆BAD cân tại A có AO là đường phân giác ứng với góc Â

=> AO đồng thời cũng là đường cao ứng với BD

=> AO ⊥ BD

=> Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

III. Các cách chứng minh tứ giác là Hình thoi

Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

=> EH là đường trung bình của tam giác

=> EH = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF

=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m)

Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.

Theo bài ra, ta có:

ΔABC cân tại A có trung tuyến AM

=> AM đồng thời là đường trung trực của BC

=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m)

Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.

Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE

=> MI là đường trung bình của ΔBDE

=> MI // BD và MI = 1/2 BD

Chứng minh tương tự, ta có:

NK // BD và NK= 1/2 BD

Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)

Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE

=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)

Từ (4) và (5) => Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (đ.p.c.m)

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBMO và ΔDPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)

=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)

Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)

Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)

Lời kết: Vậy là bài học bổ ích về các khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình thoi đã kết thúc rồi. Gia Sư Việt tin rằng chỉ cần các em nắm chắc được kiến thức cơ bản ở trên thì những bài tập về hình thoi sẽ không còn làm khó các em được nữa. Bên cạnh đó, nếu cần thuê gia sư hỗ trợ thêm, vui lòng liên hệ chúng tôi qua số 096.446.0088 để được tư vấn, lựa chọn giáo viên, sinh viên dạy kèm phù hợp nhất. Chúc các em học tập hiệu quả.

Tham khảo thêm:

♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành

Bài viết Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là Hình thoi đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Khái niệm về Hình chữ nhật

Hình chữ nhật là Tứ giác có bốn góc vuông.

Từ khái niệm và hình vẽ trên, ta có: Nếu ABCD là Hình chữ nhật thì Góc A = B = C = D = 90°

II. Các tính chất của Hình chữ nhật

Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

– Tính chất 1: Trong hình chữ nhật, các cạnh đối bằng nhau.

Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => AB = CD và AD = BC

– Tính chất 2: Trong hình chữ nhật, các góc đối bằng nhau.

Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => Góc A = B = C = D = 90°

III. Các định lí quan trọng về Hình chữ nhật

– Định lí 1: Trong Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngược lại, nếu tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và cắt nhau tại O, trong đó OA = OB = OC = OD, chứng minh Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.

Xét tam giác ABD có:

OA = OB = OD (gt) => ∆ABD vuông tại A

( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông )

Chứng minh tương tự, ta có:

∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông tại C, ∆CDA vuông tại D

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.

– Định lí 2: Áp dụng vào Tam giác

+ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+ Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

Xét Δ AHC vuông có I là trung điểm của AC

⇒ HE là đường trung tuyến của Δ AHC.
⇒ HI = ½AC = AI = IC.

Mà E đối xứng với H qua I ⇒ HI = IE.
Khi đó ta có HI = IE = AI = IC.

+ Xét Δ HCE có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh HE
mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.

Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC đều là các tam giác vuông tại A, E.

Xét tứ giác AHCE có Góc EAH = AHC = HCE = CEA  = 90°

⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

IV. Cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

Cách 1: Tứ giác có ba góc vuông

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A,∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại A => Góc BAC = 90°

∆BCD vuông tại B => Góc CBD = 90°

∆CDA vuông tại C => Góc DCA = 90°

=> Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có bốn góc vuông. ( đ.p.c.m )

Cách 2: Hình thang cân có một góc vuông

Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, giả sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Theo giả thiết: Góc D = 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

=> Góc A + D = 180° (hai góc trong cùng phía)
=> Góc A = 90°

Lại có Góc A + Góc C = 180° => Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°

=> ABCD là Hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

Cách 3: Hình bình hành có một góc vuông

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM // BC (M thuộc AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại C => AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM
=> ∆APM vuông cân tại P
=> AP = PM

Lại có: AP = CQ
Mà PM // CQ
=> MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác: Góc C = 90° (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( đ.p.c.m )

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM và GC = 2GN

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M
⇒ MG = MD hay GD = 2GM
Suy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N
⇒ NG = NE hay GE = 2GN
Suy ra: GC = GE (4)

Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM và ΔCNB, có:

BC cạnh chung
Góc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)
CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B₁ = C₁ ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) và (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. ( đ.p.c.m )

Lời kết: Vậy là các khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật đã được Gia Sư Việt phân tích rõ ràng ở trên. Với các ví dụ minh họa và bài tập chi tiết, hi vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý giá để các bạn làm bài và ôn thi hiệu quả. Ngoài ra, nếu cần tìm gia sư Toán đồng hành trong học tập, phụ huynh và học sinh vui lòng liên hệ qua số 096.446.0088 để được tư vấn và lựa chọn giáo viên, sinh viên dạy kèm phù hợp nhất.

Tham khảo thêm:

♦ Top 10 địa chỉ cung cấp gia sư tại quận Hoàng Mai uy tín nhất

♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành

Bài viết Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Khái niệm về Hình vuông

Hình vuông là Tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Từ khái niệm trên ta có:

Góc A = B = C = D = 90°

Cạnh AB = BC = CD = DA

II. Tính chất của Hình vuông

Hình vuông có tất cả các tính chất của Hình chữ nhật và Hình thoi.

– Tính chất 1: Hình vuông có 2 cặp cạnh song song và bằng nhau

AB // và = CD

AD // và = BC

– Tính chất 2: Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ: Hình vuông ABCD, AC cắt BD tại O, thì:

AC = BD

AC ⊥ BD

OA = OB = OC = OD

– Tính chất 3: Tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.

Ví dụ: Hình vuông ABCD => O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABCD

III. Cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

Cách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

ΔABC vuông cân tại A => Góc B = C = 45°

ΔBHE vuông tại H và có Góc B = 45° => ΔBHE vuông cân tại H
=> HB = HE

ΔCGF vuông tại G và có Góc C= 45° => ΔCGF vuông cân tại G
=> GC = GF

Mà BH = HG = GC (giả thiết)
=> HE = HG = GF

Lại có EH // GF (cùng vuông góc với BC)  và EH = GF

=> Tứ giác HEFG là Hình bình hành ( Tứ giác có một cặp cạnh đối song song bằng nhau là Hình bình hành ).

Ngoài ra, Góc EHG = 90° nên HEFG là Hình chữ nhật, lại có EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là Hình vuông ( Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là Hình vuông ). ( đ.p.c.m)

Cách 2: Hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Xét tứ giác AMDN, ta có:

Góc MAN = 90° (giả thiết)

DM ⊥ AB (giả thiết) => Góc AMD = 90°

DN ⊥ AC (giả thiết) => Góc AND = 90°

Suy ra Tứ giác AMDN là Hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)

Lại có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy Hình chữ nhật AMDN là Hình vuông

Cách 3: Hình thoi có 1 góc vuông

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

=> EB = KC = PD = QA

Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK (gt)

A = B = 90°

QA = EB (chứng minh trên)

=> ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c)

=> EQ = EK

Chứng minh tương tự, ta có: EK = KP, KP = PQ

Suy ra: EK = KP = PQ = EQ => Tứ giác EKPQ là Hình thoi. (1)

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE

⇒ Góc AQE = BKE

Mà Góc AQE + AEQ = 90°

=> Góc BKE + AEQ = 90°

Lại có, Góc BKE + QEK + AEQ = 180°

Suy ra: Góc QEK = 180° – Góc BKE –  Góc AEQ = 180° – 90° = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKPQ là Hình vuông ( Hình thoi có 1 góc vuông là Hình vuông. ( đ.p.c.m)

Ví dụ 2: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.

Xét ΔCAB và ΔEMB có:

CA = EM (gt)
CB = EB
Góc ACB = MEB = 90°

=> ΔCAB = ΔEMB (c.g.c)

=> AB = MB

Ta có: AK = DK+ DA

CD = CA + AD

Mà CA = DK nên AK = CD

Chứng minh tương tự, ta có: DE = HM, IM = MB

Suy ra: AM = BM = AI = IM

=> Tứ giác ABMI là Hình thoi.

Mặt khác, ta có ΔACB = ΔMEB (chứng minh trên)

=> Góc CBA = EBM

Mà Góc CBA + ABE = Góc CBE = 90°

Suy ra: Góc EBM + ABE = 90° hay Góc ABM = 90°

Vậy Tứ giác ABMI là Hình vuông ( Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông ) ( đ.p.c.m)

Lời kết: Qua bài viết này, Gia Sư Việt hi vọng giúp các bạn học sinh nắm chắc nhưng khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông. Chúng tôi tin rằng những bài tập phức tạp hay kì thi nâng cao cũng không thể làm khó các bạn nữa. Hãy luôn theo dõi nội dung cập nhật trên Website để tìm hiểu được nhiều bài học bổ ích nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt và đạt kết quả cao.

Tham khảo thêm:

♦ Top 10 trung tâm cung cấp gia sư Toán giỏi nhất tại Hà Nội

♦ Tổng hợp kiến thức về các đường Đồng quy trong Tam giác

♦ Định nghĩa, tính chất & cách chứng minh các Tam giác đặc biệt

Bài viết Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.

I. Đường phân giác

1. Tính chất của đường phân giác

Tính chất 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

Từ hình vẽ, ta thấy:

M ∈ Oz

MA ⊥ Oy; MB ⊥ Oy

Dẫn đến: MA = MB, do hai tam giác vuông MOA = MOB

Tính chất 2: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Theo hình trên: Nếu M nằm trong góc xOy và MA = MB thì M nằm trên tia phân giác Oz của góc xOy

2. Định lý về đường phân giác trong Tam giác

Định lí 1: Ba đường phân giác của một Tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của Tam giác đó.

Từ hình vẽ, ta thấy: Tam giác ABC có 3 đường phân giác giao tại I. Khi đó:

Góc A₁ = A₂; Góc B₁ = B₂; Góc C₁ = C₂

Và ID = IE = IF

Định lí 2: Đường phân giác trong của một Tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề với đoạn ấy.

*Lưu ý: Điều này cũng đúng với đường phân giác ngoài.

Từ hình vẽ, ta thấy:

DB/DC = AB/AC

EB/EC = AB/AC

*Chứng minh:

Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E

Ta có:

Góc BAE = Góc CAE (giả thuyết)

Vì BE // AC, nên Góc BEA = Góc CAE (so le trong)

Suy ra Góc BAE = Góc BEA . Do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra:

BE = AB (1)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-let đối với tam giác DAC, ta có:

DB/DC = BE/AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DB/DC = AB/AC

Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại một đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài các cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng: DB/DC = EB/EC = AB/AC

3. Cách chứng minh đường phân giác

– Cách 1: Chứng minh hai góc ở một đỉnh bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác ABC có AD chia góc A thành hai góc BAD và góc CAD bằng nhau. => AD là đường phân giác tại đỉnh A của tam giác ABC

– Cách 2: Chứng minh hai đoạn thẳng đối diện tỷ lệ với hai cạnh kề với đoạn ấy.

Ví dụ: Tam giác ABC có DB/DC = AB/AC

=> AD là đường phân giác tại đỉnh A của tam giác ABC

– Cách 3 (Dùng trong trường hợp tam giác cân): Chứng minh đường đó là đường trung tuyến trong tam giác cân.

Ví dụ: Tam giác ABC cân có AD là đường trung tuyến => AD cũng đồng thời là đường phân giác tại đỉnh A của tam giác ABC

II. Đường trung trực

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

1. Tính chất đường trung trực

Tính chất 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: M thuộc đường trung trực của AB => MA = MB

Tính chất 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: MA = MB => M thuộc đường trung trực của AB

2. Định lý đường trung trực trong Tam giác

Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Từ hình vẽ, ta thấy:

Điểm O là giao điểm các đường trung trực trong ∆ABC

OA = OB = OC

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Định lí 2: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Ví dụ: ∆ABC có AD là đường trung tuyến của đáy

=> AD cũng đồng thời là đường trung trực tại đỉnh A của tam giác ABC

3. Cách chứng minh đường trung trực

– Cách 1: Chứng minh đường đó vuông góc với một cạnh của tam giác tại trung điểm.

Ví dụ: Tam giác ABC có AD ⊥ BC tại trung điểm của BC

=> AD là đường trung trực ứng với BC của tam giác ABC

– Cách 2: Chứng minh có một điểm cách nằm trên đường đó cách đều 2 cạnh bên.

Ví dụ: Tam giác ABC có điểm M ∈ AD, MA = MB

=> AD là đường trung trực tại đỉnh A của tam giác ABC

– Cách 3 (Dùng trong trường hợp tam giác cân): Chứng minh đường đó là đường trung tuyến trong tam giác cân

Ví dụ: Tam giác ABC cân có AD là đường trung tuyến

=> AD cũng đồng thời là đường trung trực ứng với đáy của tam giác ABC

III. Đường trung tuyến

Định nghĩa: Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

1. Định lý về đường trung tuyến trong Tam giác

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Định lý 2: Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

Định lý 3: Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có G là trọng tâm

AG = 2/3 AI; BG = 2/3 BM; CG = 2/3 CN

GI = 1/3 AI; GM = 1/3 BM; GN = 1/3 CN

2. Tính chất về đường trung tuyến

Tính chất 1: Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác ABC cân có AD là đường trung tuyến

=> Diện tích ABD = ACD

Tính chất 2: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng ½ cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM = MB = MC = 1/2 BC

3. Cách chứng minh đường trung tuyến

– Cách 1: Chứng minh đường đó nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện.

Ví dụ: Tam giác ABC có D là trung điểm BC

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

– Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn AG = 2/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

– Cách 3: Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn GD = 1/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

IV. Đường cao

1. Tính chất về đường cao

Tính chất 1: Trong tam giác cân, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đó, là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

Ví dụ: Tam giác cân ABC có AI là đường cao

=> AI cũng là đường trung tuyến ứng với BC, tia phân giác góc A và đường trung trực của BC.

Tính chất 2: Trong tam giác vuông, đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A

=> BA là đường cao ứng với AC, CA là đường cao ứng với AB

2. Định lý về đường cao trong Tam giác

Định lí 1: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: Cho hình vẽ sau. Chứng minh NS ⊥ ML

Xét ΔMNL, ta có:

LP MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS ⊥ ML

Định lí 2: Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A

=> ΔABH ~ ΔACH

*Một số đẳng thức liên quan:

Đẳng thức bên trái: c² = c’×a

Đẳng thức bên phải: b² = b’×a

Đẳng thức ở giữa: h² = b’×c’

3. Cách chứng minh đường cao

– Cách 1: Chứng minh đường đó vuông góc với một cạnh của tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có AH ⊥ BC

=> AH là đường cao của tam giác ABC

– Cách 2: Dùng định lí Py-ta-go hoặc các đẳng thức trong tam giác vuông

Ví dụ: Tam giác ABC có H thuộc BC, (BC)² = (AB)² + (AC)²

=> AH là đường cao ứng với BC

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A, có (AH)² = HB × HC

=> AH là đường cao ứng với BC

Lời kết: Mong rằng bài học trên đây về các đường đồng quy trong Tam giác sẽ giúp các bạn có một góc nhìn sâu và đa chiều hơn về hình học. Đồng thời cũng ghi nhớ các công thức và định lí cần thiết khi giải bài tập liên quan đến tam giác, Gia Sư Việt xin chúc các bạn tiếp thu và học tập hiệu quả nhất. Nếu bạn cần gia sư Toán hỗ trợ việc học tại nhà, vui lòng liên hệ chúng tôi qua số 096.446.0088 – 090.462.8800 để biết thêm chi tiết.

Tham khảo thêm:

♦ Định nghĩa, tính chất & cách chứng minh các Tam giác đặc biệt

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành

Bài viết Tổng hợp kiến thức về các đường Đồng quy trong Tam giác đã xuất hiện đầu tiên vào ngày Gia Sư Việt - Dịch vụ gia sư chất lượng số 1 tại Hà Nội.