Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là Hình thoi

Hình thoi là một hình tuy đơn giản nhưng có nhiều đặc điểm và tính chất phức tạp. Vậy nên phần lý thuyết và bài tập về hình thoi đều tương đối khó, đòi hỏi chúng ta phải nắm chắc kiến thức cơ bản mới làm được bài. Vì vậy, Gia Sư Việt xin giới thiệu bài học: Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình thoi. Chúng tôi hi vọng giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát nhất, các em cùng theo dõi dưới đây nhé.

I. Khái niệm về Hình thoi

Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Từ khái niệm, ta thấy: ABCD là hình thoi => AB = BC = CD = DA

II. Tính chất của Hình thoi

Hình thoi cũng là một hình bình hành, nên nó có tất cả các tính chất của hình bình hành.

– Tính chất 1: Trong hình thoi, các góc đối nhau bằng nhau.

Dựa vào khái niệm về hình thoi, ta có:

∆ABC = ∆ADC (c .c. c) => Góc B =  Góc D

∆ABD = ∆CBD (c .c .c) => Góc A =  Góc C

– Tính chất 2: Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Xét ∆AOB và ∆COB có:

Chung cạnh OB
OA = OC (O là trung điểm AC, do ABCD cũng là một hình bình hành)
BA = BC (Hinh thoi có 4 cạnh bằng nhau)

Suy ra ∆AOB = ∆COB (c. c. c)

=> Góc ABO = Góc CBO => BO hay BD là đường phân giác của Góc ABC và Góc ADC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: AC là đường phân giác của Góc BAD và Góc BCD

– Tính chất 3: Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét ∆BAD cân tại A có AO là đường phân giác ứng với góc Â

=> AO đồng thời cũng là đường cao ứng với BD

=> AO ⊥ BD

=> Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

III. Các cách chứng minh tứ giác là Hình thoi

Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

=> EH là đường trung bình của tam giác

=> EH = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF

=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m)

Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.

Theo bài ra, ta có:

ΔABC cân tại A có trung tuyến AM

=> AM đồng thời là đường trung trực của BC

=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m)

Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.

Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE

=> MI là đường trung bình của ΔBDE

=> MI // BD và MI = 1/2 BD

Chứng minh tương tự, ta có:

NK // BD và NK= 1/2 BD

Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)

Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE

=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)

Từ (4) và (5) => Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (đ.p.c.m)

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBMO và ΔDPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)

=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)

Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)

Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)

Lời kết: Vậy là bài học bổ ích về các khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình thoi đã kết thúc rồi. Gia Sư Việt tin rằng chỉ cần các em nắm chắc được kiến thức cơ bản ở trên thì những bài tập về hình thoi sẽ không còn làm khó các em được nữa. Bên cạnh đó, nếu cần thuê gia sư hỗ trợ thêm, vui lòng liên hệ chúng tôi qua số 096.446.0088 để được tư vấn, lựa chọn giáo viên, sinh viên dạy kèm phù hợp nhất. Chúc các em học tập hiệu quả.

Tham khảo thêm:

♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật

♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành