Phương Pháp Giải Toán Nâng Cao Lớp 11 – Phần Lượng Giác

Môn Toán là môn học cần sự tư duy cao, đặc biệt là ở phần lượng giác. Đối với lượng giác, các em học sinh thường gặp khó khăn trong việc biến đổi những phương trình lượng giác, do đó, ở đây những phương pháp giải Toán nâng cao lớp 11 – Phần lượng giác sẽ nêu ra những phương pháp hiệu quả nhất để các em tiếp cận với các bài toán lượng giác được dễ dàng.

Phương Pháp Giải Toán Nâng Cao Lớp 11

Phương Pháp Giải Toán Nâng Cao Lớp 11 – Phần Lượng Giác

Đầu tiên, trước khi giải toán nâng cao chúng ta cần nắm vững những phương trình lượng giác cơ bản:

  1. Phương trình sin x =m  (1)

Nếu |m|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu |m|≤1, gọi α là một nghiệm của (1), tức sin α =m khi đó ta có

(1)⇔sin x =sin α⇔ {x=α+2kπ         x=π-α+2kπ    k∈Z

  1. Phương trình cosx=m (2)

Nếu |m|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu |m|≤1, gọi α là một nghiệm của (2), tức cos α =m khi đó ta có

(2)⇔cos x =cos α⇔ {x=α+2kπ         x=-α+2kπ        k∈Z

  1. Phương trình tan x=m (3)

Điều kiện x≠π2+kπ

Gọi α là một nghiệm của (3), khi đó ta có

(3)⟺tan x=tan α ⟺x=α+kπ  (k∈Z)

Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản

Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ

Ví dụ:  Giải phương trình lượng giác sau

4sin xsin (x-π3)sin (x+π3)+ 3cos 3x=1              (1)

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

2sin x (12-cos 2x)+3 cos 3x=1

sin x-2sin xcos 2x+3cos 3x=1

sin x-sin x+sin 3x +3cos 3x=1

sin 3x+3cos 3x=1

sin (3x+π3)=12

[x=-  π6+2kπ3 x=π2+2kπ3            k∈Z

Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất.

Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác

Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung), tan xcot x=1,…

Ví dụ : Giải phương trình cos2 (x+π3)+2sin (-x+π6) =  3      (3)

Lời giải. Đặt t=sin (-x+π6) , khi đó ta có cos (x+π3) = t, phương trình trở thành

t2+ 2t-3=0⇔[t=1                t= -3 (loại)

Với t=1 thì sin (-x+π6)=1 ⟺x= -π3+2kπ  ( k∈Z )

Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang

Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn t=tan x và tính tất cả các biểu thức còn lại theo t. Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác.

Ví dụ . Giải phương trình 6cos x+3sin xtan x2=2tan xcot x2

Lời giải. Điều kiện x≠kπ

Đặt t=tan x2 ,  khi đó   cot x2=1t,tan x=2t1-t2,cos x=1-t21+t2,sin x=2t1+t2

Phương trình trở thành

6.1-t21+t2+3 .2t1+t2.t=4t1-t2.1t

6(1+t2)=41-t2⇔t=15 ∨t= -15

Với t=15 thì tan x2=15⇔x=arctan 15+kπ

Với t=-15 thì tan x2=-15⇔x=arctan( -15)+kπ

Dạng 3. Phương trình a(sin x±cos x)+bsin x cos x+c=0

Cách giải

Đặt t=sin x±cos x=2sin (x ±π4) ( |t|≤2 ),

Suy ra  sin xcos x=    ±t2- 12, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình này ra nghiệm t, từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.

Ví dụ: Giải phương trình sin x+cos x+  sin xcos x-1=0    (8)

Lời giải.

Đặt t=sin x+cos x (|t|≤2)  , suy ra sin xcos x=t2-12   . Phương trình (8) trở thành:

t+t2- 12- 1=0

⇔t2+ 2t-3=0⇔t=1 ∨t= -3 (loại)

Với t=1 ta có sin x+cos x=1⇔x=2kπ  ∨ x=π2+ 2kπ   (k∈Z)

Phương pháp phân tích thành tích

Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, 1+sin 2x=(sin x+cos x  )2 , cos 2x=cos2 x-sin2 x=(cos x-sin x)(cos x+sin x)       ,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây.

Ví dụ. Giải phương trình lượng giác:

sin3 x-3cos3 x=sin xcos2 x-3sin2 xcos x           (10)              (B, 2008)

Lời giải.

sin2x(sin x+3 cos x)-cos2x(sin x+3cos x)= 0

⇔(sin x+3cos x)(sin2x-cos2x)= 0

⇔sin (x+π3)cos 2x=0

⇔sin (x+π3)=0 ∨cos 2x=0

⇔x=-π3+kπ  ∨ x=π4+kπ2

Những bài toán nâng cao lớp 11 yêu cầu trình độ và khả năng tư duy logic của các em học sinh. Các em cần nắm vững những phương trình lượng giác cơ bản và sau đó biết được những phương pháp giải toán nâng cao lớp 11 để có thể làm những bài kiểm tra toán tốt nhất. Nếu có bất cứ điều gì cần hỗ trợ về môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung, hãy liên hệ với chúng tôi theo để được hỗ trợ.

Phương Pháp Giải Toán Nâng Cao Lớp 11 – Phần Lượng Giác

5 2 votes

Để lại bình luận